数学

1、数学符号

(1)、近期，袁新意与张寿武合作完成了一本研究著作AdelicLine BundlesOverQuasi-projective Varieties，并即将在国外出版。这项研究肇始于两人十年前的一篇文章，但当时的论述写得比较粗线条，领域内的专家们(包括他们自己)并未感知到该文章提出的新理论的潜力。2019年，Dimitrov、高紫阳、Habbeger三位学者在“一致Mordell猜想”研究上有了突破性成果，受他们的启发，袁新意和张寿武意识到他们的工作正可以实现对“一致Mordell猜想”作理论性解释，从前笼罩在迷雾中的东西，一下子呈现出本质面目。对于理论性证明的意义，袁新意解释道：

(2)、这是奇数的求和公式，下图是当n=8时的情形

(3)、这道难题的核心，在于数学家、物理学家、哲学家及认知科学家多少世纪以来一直争论的一个话题：数学究竟是如爱因斯坦所坚信的那样，是人们发明出来的一套工具，还是本来就已经存在于抽象世界中，不过被人发现了而已？爱因斯坦的观点源自于所谓形式主义(Formalism)学派，许多伟大的数学家，包括大卫·希尔伯特(DavidHilbert)、格奥尔格·康托尔(GeorgCantor)，以及布尔巴基学派的数学家，都与爱因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗雷·哈罗德·哈代(GodfreyHaroldHardy)、罗杰·彭罗斯(RogerPenrose)以及库尔特·哥德尔(KurtGödel)，则持相反观点，他们信奉柏拉图主义(Platonism)。

(4)、数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。

(5)、我玩社交媒体的时间很早，2011年，最开始是在人人网。2014年，我在牛津大学本科毕业，在人人网发过一套泳装毕业照，被转发非常多。但那个年代大家不会根据一张照片去人肉或质疑你的学历，也不会上热搜和新闻，而是像咱俩现在这样的沟通。我记得当时一天最多的时候能收到99个好友申请。因为这件事我一下子交到很多朋友，个人的生活圈扩大了很多。

(6)、同样，没有局域性，情况也会非常棘手(所谓局域性，是指我们这个宇宙中的任何事物仅受其近邻环境的直接影响，而不受远处发生的事件的影响)。有了局域性，我们就可以首先设法解读基本粒子之间最基础的力，然后利用其他各种知识元素，像拼七巧板一样尝试拼出宇宙的数学模型来。

(7)、一种模式浮现出来：人们对周围世界的各种元素——包括图形、线条、集合、群组等——进行抽象概括后，发明出各种数学概念，有时出于某种具体目的，有时则纯粹为了好玩。他们接下来会努力寻找这些概念之间的联系。这一发明与发现的过程是人为的，与柏拉图主义标榜的那种发现不同，因此，我们创立的数学归根结底取决于我们的知觉过程以及我们能构想出的心理场景。例如，我们人类具有所谓“感数”(subitizing)的天赋，可以一眼识别出数量，毫无疑问，这种本能催生了数字的概念。

(8)、特性：对已经知道的情况必须用指定的符号来表示。

(9)、真正触动袁新意的是初一的数学竞赛。时隔一年，袁新意还是没有拿到任何奖项，在沮丧之余他开始思索：既然自己数学不错，也喜欢数学，为什么在数学竞赛中总是考不出好成绩？他很快意识到，城里孩子接受过高难度、系统性的竞赛训练，并养成了某些应对竞赛的思维方式，故而在考场上发挥好，于是袁新意突发奇想——他要自己训练。

(10)、在张寿武的指导下，博士期间的袁新意首先关注的是Arakelov几何的相关问题，这个理论在70年代由Arakelov提出，最早的目的是为了求解丢番图方程，袁新意最初考虑的问题是将Arakelov几何应用到代数动力系统中，得到一个等分布的结果。

(11)、学习高等数学1定要全心投入，当你中途感到吃力坚持不下来时，不要找任何借口逃脱，要想想问题出在哪里，为什么学不下去？找到问题所在然后克服它，最后1定能成功！

(12)、arctan1/2+arctan1/3=π/4

(13)、因为数学竞赛的突出成绩，袁新意获得了保送资格，考虑专业时，他在数学和计算机之间犹豫了。时值2000年，计算机技术方兴未艾。袁新意很清楚，如果学计算机，未来在经济上不会有太多顾虑。但他也深知自己喜欢数学，对数学的了解更多。纠结之下，他选择了自己6岁起便怀揣的热爱。

(14)、参赛的中国队，最好成绩是银牌第15名。总成绩中国队排名第

(15)、世上没有白费的努力，也没有碰巧的成功，一切无心插柳，其实都是水到渠成。人生没有白走的路，也没有白吃的苦，跨出去的每一步，都是未来的基石与铺垫！

(16)、坦率说，这些行为其实不算是学术界的讨论，因为它不是针对你的某一个具体的学术内容在质疑。评论里也有人说这是一种男性对女性的“服从性测试”，但我真的很喜欢数学，所以当别人找我做题时，我都很心平气和地解答。我曾经问我们牛津大学一个德高望重的老教授，带这么多学生会不会太浪费时间，他告诉我，学生的研究可以帮助他拓展自己的视野和研究半径，从他那里我学到，数学上的事情，知就是知，不知就是不知，它和学历是分离的。这就是为什么别人给我出题，我没有那么生气的原因，因为在我看来，它就是一道需要做出来的题，不能证明我的学历。 

(17)、印象最深的是，我爸当时教我拉格朗日中值定理，这是微分学中的基本定理之高等数学范畴。他讲得比较细，给我写了十多页草稿纸，我感到非常震撼，但也只懂了30%左右，他知道这对我来说是超纲内容，也不给我讲了，但我觉得很有意思，就按照自己的理解重新推导证明过程，每天给他看一点，他不会告诉我具体答案，只会说这一步做得对不对。我连续写了三十多天，才将证明过程完整写了出来，之后几天，我还是会每天写一遍，像玩通关游戏。

(18)、在我周围的环境里，进入金融行业是一种非常普遍的职业路径。尽管这么喜欢数学，我读书期间从来没有想过成为职业数学家，我觉得是受到环境的影响。因为没有人说过女生可以做数学家。理论上讲，我的家庭环境是可以给我这个想法的，但是他们也没有鼓励过我。后来，是我一个非常好的朋友，说我可以去尝试。不过，更多的可能还是来自自己内心的声音。

(19)、它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过这个问题。同时它还是死理性派logo的出处。

(20)、数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术。

2、数学题目解答扫一扫

(1)、(文中部分图片来源于作者微博：@katekate朱朱)

(2)、上图：这是函数，因为不同的输入值有唯一的输出值。

(3)、上面说到的是学习高等数学的思路，下面谈的是学习目标和学习方法。

(4)、李善兰恒等式：数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李善兰恒等式”(或李氏恒等式)。

(5)、那些希望重开奥数，以全民体制模式应对变化的人，仍然是押宝思维。

(6)、据研究，数学始于一万年前数和运算的发明，接下来的几个世纪，古埃及人和古巴比伦人在此前基础上发展了几何学和三角学。对上述文明而言，数学就像菜谱，实用为上(“对一个数或一个图先作这个，再作那个，就会得到想要的结果”)。公元前500年到公元300年，数学进入希腊新纪元。古希腊人对几何有特殊的偏爱，他们用线段长度来表示数字，当发现没有数字可对应的长度时(无理数的发现)，他们的研究止步了。

(7)、事实上，物理学可以用数学语言精确地描述。我们用飞机的例子来说明，数学何以帮助我们理解物理定律。喷气式飞机飞行时，我们是看不到任何向上托它的力量的，只有借助数学，我们才能理解那股隐形的力量。而这股力量，最早由十七世纪的伊萨克·牛顿所研究，经过几个世纪数学和工程的持续发展，我们终于能够制造出实际的飞机。这个例子很好地凸显了数学的力量：让不可见变成可见。 

(8)、1960年，诺贝尔奖得主、物理学家尤金·魏格纳(EugeneWigner)以“有用得说不通”来阐述数学的伟大，而作为一位活跃的理论天体物理学家，我在工作中也感同身受。无论我是想要弄清名为Ia型超新星(Iasupernovae)的恒星爆炸产生自哪种前身天体系统，还是推测当太阳最终变成红巨星时地球的命运，我使用的工具以及所建立的模型都属于数学范畴。数学对自然界的诠释是如此不可思议，令我在整个职业生涯中为之神魂颠倒。

(9)、第五层级是智慧型父母：鼓励孩子成为最好的自己。

(10)、真正的研究事业，枯寂而冷清。许多领域的“大神”，为了保证不被干扰，甚至会刻意远离公众，远离焦点，坐冷板凳，当“苦行僧”。我们需要这样的人，是他们用自己的热爱与真诚，自律与克制，在客观世界中先行探路。保护好韦东奕这样的人，不让他们面临“树欲静而风不止”的窘境，是整个社会对学术的一份善意。

(11)、在小规模的讨论班中，学生就感兴趣的课题作报告，自由地与老师同学交流，学者大牛也会不吝时间来引导本科生。这种比上课考试更灵活的学习模式让袁新意感到舒适惬意，他还与同学自发组织了讨论班，大家共读一本书，并轮流主讲。虽然在现在的袁新意看来，当时大家在数学上的理解尚浅，但这么一波志同道合的同学聚在一起讨论热爱的数学，即便不讨论时也彼此招呼问候，精神上还是很受鼓舞。就在这一群青年读书讨论的友好氛围中，孕育着后来的“北大数学黄金一代”。

(12)、数学“不合理”的神奇功效通过两种截然不同的方式体现出来，依我看其中一种可称为主动方式，另一种可称为被动方式。有时，科学家会针对现实世界中的现象专门打造一些方法来进行定量研究。例如，牛顿创立微积分学，就是为了了解运动与变化的规律，其方法就是把运动和变化的过程分解为一系列逐帧演化的无穷小片断。这类主动的发明，自然非常有效率，因为它们都是针对需要定向打造的。

(13)、有一天，他向导师张寿武寻求建议，恰巧次日复几何领域的专家萧荫堂要在哥伦比亚大学作报告，张寿武便建议他向萧荫堂请教。为了向专家提出准确的问题，袁新意当天反复检验整理自己的工作，直到鸡鸣月落。寂静总是伴随着夜晚，但灵感也往往随之生发出来。他突然意识到他不需要推广完整的证明，而只需要直接从几何学家田刚的结果出发，再用结果去证明加强的版本。些微的倦意瞬间被驱散，激动得难以自持的他立刻开始反复检查自己的思路是否正确。在激情燃烧的工作中，周围的一切似乎都淡去了，初升的太阳温暖着他，十年寒窗的辛勤探索在这一刻都变得意义非凡。阳光融化了曾经的困惑，给他留下了纯粹的拥有数学的幸福。

(14)、1989年的《美国数学月刊》(AmericanMathematicalMonthly)上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分)，证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

(15)、任何理论的预测价值，均取决于各变量之间基础关系是否恒定。我们的分析也无法彻底解读会产生混沌的系统(在这类系统中，只要初始条件有极其微小的变化，都可能导致最终结果完全不同，因而无法进行长期预测)。数学家们创立了统计学和概率论来弥补上述缺陷，但众所周知，奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔早已证明，数学本身是存在着固有局限性的。

(16)、让我们暂时“忘了”他，放他回他的小天地，用不关注去保护好他对学术的“痴”，对名利的“钝”。假以时日，公众面前再见，他一定会更加光芒万丈。

(17)、17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发。

(18)、近一百年来数学的发展可谓爆炸式。20世纪初，数学包含十二个子学科：代数，几何，分析以及其他。现在，这个数字增长到60～有些子学科比如代数或拓扑，可进一步分为子子学科，其他比如复分析或动力系统，则完全是新领域。数学自二十世纪八十年代以来爆炸式的增长，也革新了我们对数学的认识：数学是研究模式的科学。依据这个认识，数学的任务是界定并分析抽象的模式——数值的模式，形状的模式，运动的模式，表现的模式，选举的模式，可重复的随机性的模式等等。这些模式可以是真实的，也可以是想象的，可以是可见的，也可以不可见，可以是静态的，也可以是动态的，可以是定性的，也可以是定量的，可以是实用的，也可以是好玩的：从实际背景到思维创造，它们可以是世界的任何模式。不同的模式对应不同的数学分支，比如：

(19)、讨论到最后，有人突然发现——数学的存在，就是用来淘汰这70%的人的。

(20)、到时候高校黑压压挤满文盲，真正想报效国家的人却运气不好，死活就摇不上这个号。何止是国际数学竞赛败北，这等于中国人辞别地球了。

3、数学思维

(1)、不管是计算机函数，还是数学函数，它们都符合函数的这个抽象定义。

(2)、从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

(3)、接下来的决定就简单多了，“既然要学数学，北大数学是最好的，当然是去北大数院”。

(4)、迈克尔·阿提亚(MichaelAtiyah)是20世纪最杰出的数学家之他曾通过一项非常巧妙的假想实验来揭示我们掌握的数学概念是如何受知觉影响的——甚至连数字这类最基本的概念也不例外。德国数学家克罗内克(LeopoldKronecker)有一句名言：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”

(5)、2015诺贝尔物理学奖，荣耀归于中微子——那是个啥？

(6)、这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

(7)、19世纪中期开始的这种“内省”，让数学家对数学有了全新认识：数学的重心不再是计算求解，而是理解抽象概念和关系，数学由强调“实操”转变为注重“理解”。数学对象不再局限于特定的函数，而是某一抽象性质的载体，证明不仅仅是按照规则变换对象，而是从概念出发进行逻辑推演。

(8)、重新开始有读书的想法是在2017年，当时因为工作，我去看了一些金融类的论文，后来从金融论文看到金融数学的论文，又看到数学专业。从2017年到2019年，我在牛津官网上选了二十多门课，看到啥学啥。当时我白天上班，晚上9点以后开始学习，学到夜里一两点。第二天，眼睛睁开的一瞬间，想的也是数学题。

(9)、他打了个比方：如果一个地区，只有5000孩子适合进行奥数培训，但一下子涌进2万人，这多出来的5万人，当中绝大多数是不喜欢学奥数的。但他们的成绩也会通过培训获得提升，这就会出现这样的结果：那些真正适合学习奥数人才，在众多学生中成绩并不十分突出，于是他就被埋没了。

(10)、人们经常会想，数学在他们的日常生活中有什么作用。在现代社会，应用数学等数学分支不仅是相关的，而且是关键的。应用数学涵盖了研究物理、生物或社会学世界的分支。

(11)、减负，你抱怨说剥夺了穷孩子改变命运的机会。

(12)、意思就是说——一旦全民动员，就会出现善于考试的孩子，这些孩子对数学既无兴趣也没热爱，但他们优异的考试天才，却能够挤掉那些有潜质的孩子。而最终，高分低能的善考族去了国际赛场，结果只会更尴尬。

(13)、周氏坐标：数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。

(14)、三联生活周刊：一些物理学家研究所谓的“大统一理论”，希望能够用这样的理论解释宇宙中所有的现象。与之相对的是，数学的领域越来越广阔。数学有其自身的标准和结构，那么你是否认为数学在发展到一定阶段之后会开始“汇聚”？比如说出现某种数学理论可以兼容代数和几何？

(15)、当人类进入到类似阿拉伯数字和华夏大写数字时，人类的数学就进入了飞跃期，早期人类很早就开拓了数学领域，像我国古代春秋战国，就发现了＂勾股定理＂，到一行和尚运算了兀14最接近值时，数学已发展到人类初高中阶度了。经过全球数学大师的勤奋攻研，终于到了工业革命，数学和物理学、化学等迎来了大爆炸时代。

(16)、深国交也不对分数进行排名，只会公布第一名是谁。我跟很多人提过这件事：有一天，在教室里，我突然想，班上这么多人，总有一个人会是第一名，那个人为什么不能是我？这次之后我开始好好应试。第一年我得了年级第一。后面也经常是某个科目的第一名，总成绩一般在前十。但那时候的深国交，每年考上牛津剑桥的学生就只有五到六个。不像现在能有三十个之多。

(17)、上述例子只是对数学抽象性的惊鸿一瞥。对大部分的数学分支，假如不用抽象的符号，数学将不可避免的繁复。也因此，符号系统伴随数学的发展稳步增长。

(18)、如何利用“系列方法”促进20考研数学复习？

(19)、这所学校整体很包容，鼓励多样性和差异性。它允许学生不穿校服，当时我还穿童装，粉红色的牛仔裤，裤腰提得高高的，虽然被个别同学发到了人人网上嘲讽，但至少在校园里，没有人欺负我。我还记得当时军训拓展训练，因为我最矮，排在第一个，因此总是被教官第一个纠正做的不对的地方。有一次，我鞋子没穿好就跑步，还被教官骂了。后来，整个军训结束，要选一个荣誉小队长，同学们可能看我太惨或者太好笑了，就选了我去当。

(20)、只不过，计算机软件设计人员利用计算机高级编程语言的设计思路，将数学函数的原理和描述方式引入到了计算机的设计和计算机的编程开发当中。并且将复杂的概念建立在了数学函数的基础上，实现了计算机最重要的操作和行为概念(我们用计算机可不是仅仅用来做算数)。这更强调了之前函数的通用定义当中关于函数是一个“过程”的内涵。

4、数学书上最恐怖一页

(1)、十九世纪后半页的新数学成为大学数学的主旋律，但是高中的数学内容没有受到任何影响，正因如此，你需要一本这样的书(《IntroductiontoMathematicalThinking》)来完成思维的转变。事实上，六十年代有过所谓的“新数学”运动，但大学数学系的精神被高中严重曲解，以致运动很快就被叫停。

(2)、数学的函数函数最早就是在数学领域定义的，因此数学的函数的定义基本上与上面讲的函数的基本定义类似，但是数学的函数限定函数的输入和输出对象必须是数，而不是其它什么猫猫狗狗。

(3)、与大多数天资聪颖的数学家相似，袁新意在初次接触数学时便感到特别喜欢，那是他6岁多刚上小学时。那时他不仅爱上数学课，还会主动把老师布置之外的数学题都做完，尤其喜欢做思考题，有时他甚至借来高年级的教材超前学习。尽管没有刻意攀比，但他的数学成绩在班级中遥遥领先。

(4)、总之，热爱数学的天才，与合理的选拔机制相遇，这就意味天雷勾动地火，不炸出个花团锦簇没天理。

(5)、那些热爱数学的人，会突破禁制，在民间举办数学夏令营，他们挑选的是那些真心喜欢数学的孩子。因为喜欢，付诸一切，寤寐思服，辗转反侧。做题做得人憔悴，衣带渐宽忘了解。只有这种毫无功利取向的热爱，才会真正做出成就。

(6)、——正是这个原因，网友们开始反思此前的禁奥赛，这是不是过犹不及，走过头了呢？

(7)、现今在为统一各种相互作用的尝试中，最有希望成功的一种数学理论，需要依靠另一种对称——超对称性(supersymmetry)。在由超对称性主导的宇宙里，每种已知粒子都有一个尚待发现的伙伴粒子。如果这些伙伴粒子最终被发现(当欧洲原子核研究中心(CERN)的大型强子对撞机(LHC)投入全能量运行时，它们可能会被发现)，那么这将是具有神奇效力的数学的又一项胜利。

(8)、回家之后，我妈教育我的方式更像大学，她会说，这个东西好，你去看看，也尊重我的兴趣。所以那时我可以寻找自己喜欢的东西。我发现自己喜欢数学。学校教育里，数学的竞争性很强，需要反复练习、考试，这可能会磨灭掉一个小孩对数学的爱，但我几乎没有经历过这些，我父母几乎每天都在给我讲新的知识点。我记得当时一边吃盐焗鸡，我妈一边跟我讲复数、独数；我爸爸是计算机博士，他教我几何、方程式、鸡兔同笼问题、微积分等，不按中小学教育大纲，而是从小学到大学的内容都有涉及。后来我意识到，它们看起来跨度很大，但知识点是环环相扣的。更重要的是，当时的我已经窥见大学数学的一角，它们展现的数学之美令我感到震撼，也成为当时推动我学数学的原因。相比之下，后来在国际学校接触到的高中数学，就让我觉得很闷，没啥意思。

(9)、牛津大学的毕业成绩是2021年10月份出来的，但毕业典礼需要校长挨个单独授予学位，所以需要分批次进行，我排到了今年3月，本来说好爸爸妈妈叔叔阿姨等一起过来参加，但很遗憾，我的一位住在海外的亲戚在机场检测出新冠，所有人都来不了了。所以那天我叫了朋友过来，将过程拍下来，希望剪成视频，发给他们看。视频内容很长辈风格，积极正向，机器配音，写着“今天我以牛津年级第一的成绩，从数学建模系毕业了”。当天晚上发给他们后，同时放到了网上。没想到引发一场风波。

(10)、有两个原因(剧透下：只有两个，并且这两个本质上是同样的意思)。

(11)、上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路(如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路)。在这两段(或一段)线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

(12)、12岁时，我去面试了深圳的一所国际高中，叫深圳国际交流学院(简称深国交)。当时它刚成立不久，门槛没有现在高，学费也不太贵，我妈就让我去试试。考试科目有一定的自由选择空间，我选了数学、英语，再加一个面试。理论上，它招收的是初三毕业生。我没有参加过标准化考试，不知道自己对应哪个水平，但题目都不大难。我还记得一件非常有意思的事，在一道英语翻译题中，有句话是TheUniversityofOxfordiswellknown(牛津大学是一所著名大学)，其他单词我都认识，但我从来不背专业名词，所以不认识Oxford，还写成了“奥克斯福德大学”。

(13)、这件事也带给我反思，3月20日，我在微博上写到，“我在社交媒体展现的一面，更多是社会定义成功的样子，我没有完全真的做自己。我说过女孩应该放下美女光环，放低姿态。但是很惭愧，我自己也没有做到。我也会花上十几分钟精致修照片，p掉每一条皱纹，就像我花十小时追求论文每一个措辞的完美。我承诺自己从今往后，更真实一点，勇敢地蜕掉‘高大上’的保护色。也希望大家还能继续看我，不会嘲笑那个真实狼狈又nerdy(书呆子气)的女孩。”

(14)、大约150年前，虽然当时的数学已远远拓展到数之外的范畴，但数学家依旧认为数学的本质是计算，对数学的精通就意味着能够做复杂计算或者熟练推演符号。大体上，中学数学正是在这样的传统观念中建立起来。

(15)、这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思(ElishaScottLoomis)在《毕达哥拉斯命题》(PythagoreanProposition)提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

(16)、2019年我重新回牛津读硕士。五六年的工作经历，也给了我更多的底气，我可以不需要任何人的支持，自己去支付学费。毕竟18岁之后我妈妈就没再给过我钱，而以后在英国读博士，没有奖学金的话，学费要一两百万。

(17)、以往的情况是，社会对第一种技能需求巨大，对第二种需求很小。而数学教育能够培养兼具两种技能的人，虽然主要精力在培养第一种技能，但总会有人脱颖而出，掌握第二种技能。如此皆大欢喜。但在当今社会，随着企业创新加快，第二种技能，即跳出数学框架来思考问题的能力，开始取代第一种技能的地位。顿时，一切都不好了。

(18)、在绝大多数人看来，数学有用那是天经地义，但很少有人思考，数学到底是人发明的，还是被人发现的？对于这个让众多学者纠结数千年之久的问题，天体物理学界一位领军人物给出答案：它既是发明的产物，也是发现的结果。

(19)、——这些人，无论是教练还是孩子，都是真心喜欢数学。

(20)、到第一个千禧年的前半页，印度人发明进位制，伊斯兰世界的学者在后半页将其进一步深化，到中世纪欧洲南部掌握了这一方法，此后数学的发展未曾停步，持续至今。与此对照，中学的课程在包含上述内容之外，只增加了两门新课程：初等微积分和初等概率论。也就是说，过去三百年发展起来的学科无一入选中学课程，而我们用的大多数数学正好就是这二三百年发展起来的！

5、数学的英文

(1)、十九世纪数学内部激增的复杂性引发了数学从计算到概念理解的变革，150年之后的今天，在社会变革是由更复杂的数学所推到的背景下，数学那一次变革的重要性就不仅仅是对数学家，而是对所有想应用数学的人！

(2)、函数实际上是一个两两有序配对的集合，一个X值仅对应一个Y值，但一个Y值不一定对应一个X值。这个X与Y值的配对的集合G就是函数的图，如果用坐标系表示就是我们经常看到的那种函数曲线图。

(3)、亚里士多德把数学定义为“数量科学”，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题。

(4)、这也不是我第一次在网上跟人对线做题。去年我在小红书发过一个学习干货分享，一个自称是复旦大学的男生跑过来说我绝对不是牛津数学系的，给我出了两个非常偏和难的题，可能是研究课题里的问题，第二天，我以一篇小论文回应他，然后发现他把小红书号注销了。粉丝还笑说我被“骗题”了。

(5)、左起分别为刘若川、恽之玮、袁新意、宋诗畅、肖梁、许晨阳

(6)、学一个理论就像登山，攀登的过程很艰难，但一旦你登上去了，就能看到很远很广的地方。

(7)、“我现在讲这个故事，感觉像讲另外一个小孩的故事一样。”说到自己结缘数学的童年经历，袁新意不由笑言。生活环境的变化为往事蒙上一层朦胧的雾气，但这场经历本身也不乏传奇色彩。

(8)、苏氏锥面：数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。

(9)、第一个被抽象化的概念大概是数字(中国的算筹)，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年。

(10)、算术(加减乘除)也自然而然地产生了。更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普。历史上曾有过许多各异的记数系统。

(11)、攻克下这一难题，让袁新意真正从学生转变为一名研究者，前期的思考训练了他的技术能力和知识水平，但他仍渴望向更深刻的数论问题前进。在与导师张寿武、同学张伟(后来也成为“黄金一代”的代表数学家)的合作下，袁新意先后证明了Gross-Zagier公式相关的一系列重要结果、Colmez猜想的平均形式，并独立证明了全实域上的志村(Shimura)曲线的高度公式。

(12)、答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

(13)、回到本节开头，再次强调：数学符号的抽象在于数学对象本身的抽象。抽象的数学可以帮助我们理解世界的运行模式。1623年，伽利略写道：

(14)、并因此在1985年获得了诺贝尔化学奖。你还需要知道，这哥们儿最后一次学化学是在大“数学家豪普特曼”就这样莫名其妙地变成了“化学家豪普特曼”。

(15)、在牛津大学，我选的是非常纯的数学(纯数)和非常金融的数学(金融数学)。选修金融数学是受我妈妈的影响。在我小时候，她就拿曾子墨的书给我看。

(16)、 我们中学地理学的知识，竟然全是出自他一个人！