罗素悖论引发了数学的第三次危机

1、罗素悖论引发了数学的第三次危机无结果

(1)、熟悉教材内容在教材体系中的地位和作用，理清教材内容的逻辑结构　

(2)、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。

(3)、于是柯西定义了极限的概念，魏尔斯特拉斯提出了一套更加抽象的ε-δ定义，这都是从无限的运算中得到一个有限的结果，打下了数学分析在逻辑上的第一块牢靠的基石。今天我们看来，这场危机中悖论幽灵不是以它的标准形式出现的，而是以它的等值形式“P且非P”出现的，前面说过，这两种形式是不同的。假设P为有限，非P就为无限，如果肯定“P且非P”可真，实无限集和有限集相容并存，那么，这里就只有可避免的矛盾，而没有绕不开的悖论。持续一个多世纪的第二次数学危机事实上是笼罩在假悖论的恐慌之下。当代鲁滨逊的非标准数学分析也许得不出什么全新的结论，但用来审视这场危机，是一个更加合适的角度。实数集引入了无穷小(从而也就引入了无穷大)的超实数，数系扩展到了超实数集，每一场危机都使人类对数的整体认识加深了。

(4)、然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大事就是罗素(Russell)悖论的发现。

(5)、1894年，罗素22岁，即大参加伦理荣誉学位考试，说明他从没有放弃哲学。这一年，完成论文《论几何学的基础》，是数学与哲学的结合体。

(6)、    随着人工智能科技的迅猛发展，一个幽灵般的问题开始在人们的头脑中徘徊：机器人能被训练成数学家吗？这一问题关系到哲学的基本问题。笔者以为，机器证明同尺规作图一样都是数学家借助辅助工具实施逻辑推理的过程，机器人、计算机和直尺、圆规等无疑是逻辑推理的辅助工具，而数学家是逻辑推理的主体。

(7)、作为文学家，罗素一生都在写作，并身体力行留下大量的作品，获得了诺贝尔文学奖。80岁后开始创作写小说、散文。

(8)、    网上有个号称科学版的印度疫情走向预测(SEIR模型)，据说是一个刚毕业的大学生完成的。该预测称，如果印度政府不加干预，印度全国感染人数将达到5亿，死亡4500万人；如果政府从2020年3月20日开始干预，感染人数可以控制为5万，死亡人数控制为1000；如果政府从那日开始严格干预，感染人数可控制在3万，死亡人数仅300。我国钟南山教授团队发表的研究工作，对公共卫生干预措施下中国COVID-19疫情趋势进行了优化SEIR模型和AI预测，结论是中国的疫情在2020年2月底已达到峰值，到4月底将趋于平缓。伦敦帝国理工有预测报告，主要结论是：如无任何控制措施，在3个月后到达顶峰时英国将死亡51万人，美国将死亡220万人。ICU病床会在2020年4月第二周达到满负荷。在爆发最高峰期间，需求量将会30倍超出英国目前的ICU病床量。

(9)、像微积分的产生一样，集合论的产生也遭到了猛烈的攻击。 

(10)、朱松纯|人工智能的现状、任务、构架与统一(上)

(11)、在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。

(12)、1924年，罗素52岁，在美国巡回演讲《科学的未来》《怎样获得自由与幸福》。以《布尔什维克主义与西方》为题，面对“争取公众参议社团”人士，同司各特·尼尔林辩论。这时的罗素，完全是一个政治人物了。

(13)、    为了解决罗素悖论，演化出逻辑主义、直觉主义、形式主义等数学学派，产生了集合论的公理化。主要思想都是对集合加以限制，排除悖论，保留所有有价值的东西。庞加莱说：我们建造了一个围栏来放养羊群，以防止它们被狼侵害，但我们不知道在围栏中是否已经有狼。

(14)、即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

(15)、1942年，罗素70岁，在哥伦比亚广播公司的“增长知识”节目与雅克·巴曾谈“笛卡尔的《方法谈》”，与司各特·布坎南和马克·范·多林谈“斯宾诺莎的《伦理学》”，后又与凯萨琳·安·玻特谈“卡洛尔的《艾丽丝漫游奇境记》”。在美国空中论坛谈“印度如何了？”

(16)、    本文前面提到的求前10亿个自然数之和的问题，如果用计算机解决问题，其实就是把若干自然人接续计算的若干次“可读型”逻辑推理压缩到计算机里。然而，视乎人们对此并不反感，因为人们对这种按部就班的加法运算太熟悉啦，以至于有点儿麻木。对那些人们确实陌生的问题，大家的态度会不会有变化呢？请看两个著名的例子。

(17)、现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。

(18)、理科少年周彦：围棋4段、会写代码，却说自己像榴莲？老凡尔赛了！

(19)、这句话就是说谎者悖论。有意思在于，这句话没有答案。如果埃庇米尼得斯说的是真的，那就不符合“这句话是谎话”，如果是假的，那就符合“这句话是谎话”，那么这句话就是真话。这就是一个典型的自我指涉引发的悖论。

(20)、这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条(万物皆为数)，也冲击了当时希腊人的传统见解。当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉舟身亡的惩处。

2、罗素悖论产生第3次数学危机

(1)、高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。

(2)、有这样一个人，他患有一种奇怪的色盲症，他会把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色，他自己并不知道他患有色盲，并不知道他和普通人不同，他只是把绿色叫成“蓝色”，把蓝色叫成“绿色”。

(3)、罗素悖论非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，在他的书即将出版时，整个理论大厦全然崩塌。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

(4)、如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据S的定义，S就属于S。所以无论如何都会产生矛盾！一时间，数学家为之恐慌，看似数学大厦即将樯倾楫摧不复存焉。第三次数学危机便自此爆发。

(5)、这个“爱情之问”很适合还处于暧昧期的情侣讨论来加深感情。

(6)、自微积分被发明之后，质疑之声就从未消停过。相当长的时间内，数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的，但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。

(7)、图灵奖得主Hamming的22年前经典演讲：如何做研究，才能不被历史遗忘

(8)、100年后的今天，我们再来看罗素对中国的四个预言，还是很准确的。

(9)、1945年，罗素73岁，出版历史专著《西方哲学史》。

(10)、虽然经过一个多世纪物理学家的努力，大家发现物理学天空已经满满得全是乌云了。

(11)、1889年，罗素17岁，遇到阿鲁丝·伯尔萨尔·史密斯，并爱上她，受到祖母阻挠。

(12)、无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？这引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次危机。

(13)、数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精准性。严谨性是数学学科的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。

(14)、德国逻辑学家弗雷格(Frege)曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。(Kline,1972)

(15)、——布特鲁(PierreBoutroux)

(16)、1949年，罗素77岁，被授予勋章。为威斯敏斯特学院演讲“原子能与欧洲问题”。

(17)、于是，数家们继续更深入地探讨数学分析的基础问题：实数论的问题。

(18)、                                   图片|吴浩芸

(19)、(1)尺规作图使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；

(20)、如果集合A是自己的一个元素，那么集合A就不满足“不包括自己的集合”的定义，不应该出现在此集合中，矛盾；

3、罗素悖论的数学例子

(1)、1890年，罗素18岁，进剑桥大学三一学院，大一至大三专攻数学。获数学荣誉学位。

(2)、事实上，在这次危机爆发后很长一段时间内，数学家们曾试图对“集合论”的定义加以限制，进而排除悖论。认为只要不允许包含自身的集合存在，这也就谈不上是什么问题了。。。

(3)、悖论的标准形式是如果P，那么非P；并且如果非P，那么P。引入等值关系，即P当且仅当非P。在这样的标准形式下，一些冠以“悖论”名称的命题不能都算作是悖论，如“上帝全能悖论”：假设上帝是全能的，那么上帝就能造出一个打败他的对手，一个被打败的上帝显然不是全能的。但从上帝不是全能的就推不出它的否定。科幻爱好者熟知的“外祖父悖论”也是这样，假设某个人可以乘坐时间机器或通过时空隧道什么的回到过去，那么他就有可能杀死幼年的外祖父，从而他母亲不能出世，他也不能出世，所以人不能回到过去。相应地这个命题的逆命题不成立。这些都只能算作“半个悖论”。另外，还有一些佯谬、怪论、疑难等也常常冒用悖论之名。为此我们需要特别指出：悖论标准形式“P当且仅当非P”与矛盾律中的矛盾“P且非P”有本质的不同，尽管二者在经典逻辑中的真值相等。

(4)、罗素使整个数学大厦动摇了，更为尴尬的是他将这个发现写信告诉了好朋友弗雷格。而此时弗雷格正准备出版《算术的基本法则》，但是罗素的发现动摇了数学的基础，这使得他对自己的研究开始怀疑，于是在本书第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

(5)、   1820年，法国数学家柯西提出极限论思想，把无穷小量规范为极限为零的变量。进一步，魏尔斯托拉斯给出极限的ε − δ 语言。贝克莱悖论才得到彻底解决，第二次数学危机化解。数学分析诞生。

(6)、这个漏洞就源于英国数学家罗素提出的一个悖论：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。(绕口令。。。)

(7)、要讲明这场危机，首先要讲明科学中称之为还原论的一种观点，有时也称化归主义。借助数理逻辑的符号化形式化方法，它把一个公理演绎系统化归为另一个公理演绎系统，通过建立模型使一个系统的协调性归结为另一个系统的协调性，这样，证明了后者的协调性也就证明了前者的协调性。由于众多数学家的先后努力，几何化归到了代数(通过解析几何)，代数、分析等又化归到了集合论。推而广之，其他学科如物理、化学、生物也可以化归到数学上。现在整座数学大厦都建筑在集合论的基础上。如果证明了集合论的协调性，那么，数学整体的协调一致也就达到了。

(8)、    第二个例子是球堆积猜想。1590年的某一天，英国罗利爵士在考虑自己船队出海时船上炮弹码放方式，求助于英国数学家哈里耳特；哈里耳特将其规范为怎样码放球体，使其占用空间最小的问题，并写信告诉了德国科学家开普勒；1611年开普勒提出球堆积猜想：当大小相当的球体按照“面心晶体”的形式，并且将第一层摆成六角形时，它们占用的空间最小，对空间的利用率可以超过74%。1900年，希尔伯特将这一猜想列入著名的“二十三个未解数学难题”。

(9)、1876年，罗素4岁，父亲去世。祖母监护。祖母没有让罗素上一般子弟公学，而是让他在家接受保姆和家庭教育的教育。祖母送罗素一本《圣经》，对他非常严厉。祖母特别讲究规矩和清教徒的美德，而且不允许怀疑。

(10)、    笔者以为维克托的上述迷失在于用局部代替了整体，忽视了更大范围的因果关系。事实上，快速计算加大了逻辑推理的“容量”，以演绎推理的三段式论证为例，大前提和小前提的语言表述借助计算机的功力可能实现几百G的容量，但从宏观上看，三段式论证的结构并没有改变。

(11)、图灵奖得主JeffUllman直言：机器学习不是数据科学的全部！统计学也不是

(12)、自被希伯斯发现之后，√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。更为恼火的是，面对这一打击，人们手足无措，于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机，从而导致了西方数学史上一场浩大的风波，史称“第一次数学危机”。

(13)、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

(14)、1933年，罗素61岁，写出《数学的性质》。

(15)、憨哥在《数学历史事件》这样记载“1903年，英国罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。”。罗素悖论最早提出是1903年，他提出“对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S即S1={x:x∉x}。”。

(16)、我们想要探讨的是，逻辑推理与概念分析的能力界限在哪里，逻辑矛盾可以告诉我们什么。

(17)、你为什么获得不了图灵奖，原来本科学的是计算机专业，数据显示历届图灵奖得主当中竟然只有三位在本科时主修计算机专业......

(18)、②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时，它的自洽性不可能在该系统内证明。

(19)、1958年，罗素86岁，为促进核裁军活动，而后创立非暴力反抗运动百人委员会。20世纪60年代，罗素出版了自己的三卷自传《罗素自传》，并参与了肯尼迪遇刺事件的调查。

(20)、然而好景不长，20世纪初，罗素悖论等一系列集合论悖论的发现，引起了人们对集合论，甚至是数学基础的讨论。正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾动摇了它们，使得数学家们对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

4、判断题罗素悖论引发了数学的第三次危机

(1)、其实除了罗素悖论，之前在1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托尔发现了很相似的悖论。最后罗素给了数学集合论致命一击，这造成了数学史上第三次危机。

(2)、危机希巴斯(Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即2的2次方根)永远无法用最简整数比(不可公度比)来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

(3)、1915年，罗素43岁，向曼彻斯特哲学协会讲演“物质的基本要素”。罗素仍然在布道。

(4)、图灵奖得主长文报告：是什么开启了计算机架构的新黄金十年？

(5)、这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。

(6)、为填补这个漏洞，世界上的数学家们，包括罗素自己，又忙了几十年。这也是罗素《数学原理》写于1903年，问世于1910年的原因，这本书，奠定了罗素在数学史上的大师地位。

(7)、教学重点是学习内容中主要的、基本的、中心的内容。针对课时(一堂课)，除了主要的、基本的、中心的知识技能是教学的重点外，诸如概念形成与定义过程；公式、定理、法则的探究过程；应用题的审题和分析等也可确定为不同课的重点。

(8)、18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

(9)、图灵奖得主Hamming的22年前经典演讲：如何做研究，才能不被历史遗忘

(10)、历史上的三次数学危机，虽然给人们带来了极大的麻烦，但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，并不断去完善，由此，数学也会得到新的发展，甚至会有革命性的的变革！

(11)、蒯因在其《悖论的方式》(1961)给出的解悖方案，后来成为主流认同的方案。

(12)、1903年，罗素31岁，写出《数学原理》初稿，书中提出著名的“罗素悖论”，引发数学界震荡。并以论文《几何基础》获剑桥大学三一学院研究员职位。这一年，罗素还写成了《自由人的崇拜》。

(13)、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类，凡是集合也能被称为类，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

(14)、教学难点是学生难于理解和掌握的学习内容，或是学生易于混淆或出错的学习内容。这些内容相对于学生而言，较为抽象、复杂，离生活实际较远。

(15)、这一年，因受其不可知论观点的影响，罗素未能获得自由d提名为议员候选人。罗素骨子里没有放弃从政当官！写出了《反选举权的焦虑》一文。

(16)、(6)龙叶先.“芝诺悖论”的悖谬实质透视(A).贵阳学院学报(社会科学版)(双月刊)第12卷第1期，2017：

(17)、成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。

(18)、    希帕索斯因此遭到毕达哥拉斯学派的追杀，后被扔进大海，成为第一次数学危机的殉葬品。大约公元前370年，古希腊数学家尤得塞斯建立了新的比例理论，无理数被认识，才彻底化解了毕达哥拉斯悖论。第一次数学危机的启示：直觉不可靠，推理证明才是可靠的。从此，古希腊人从重视“计算技术”转向重视演绎推理，实现了数学思想的一次巨大革命。

(19)、但是，新的问题又出现了，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子，说明直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。

(20)、知识和技能目标，是对学生学习结果的描述，即学生通过学习所要达到的结果，又叫结果性目标。这种目标一般有三个层次的要求：学懂、学会、能应用。

5、罗素悖论引发了数学的第三次危机,它的一个

(1)、为让人好理解“罗素悖论”，常用“理发师悖论”作例子：

(2)、80岁时，与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯离婚，同第四任妻子美国的英语教授伊迪丝·芬奇结婚。

(3)、其人弗能应也。对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位(卖这样的矛与盾的)楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。

(4)、    第一次数学危机称为毕达哥拉斯悖论，发生在公元前5世纪。当时在意大利半岛上有个毕达哥拉斯学派，他们信奉“万物皆数”的信条，号称任何线段长度都可表示为两个自然数之比。他们证明过有理数具有稠密性与和谐性，以及毕达哥拉斯定理(勾股定理)。毕达哥拉斯悖论是希帕索斯发现的，他发现了直角边长为1的等腰直角三角形斜边长度不是自然数之比。

(5)、悖论幽灵再次潜踪匿形，锋芒不露，等待在更有利的时机给数学更为猛烈的一击。

(6)、一个幽灵，一个悖论的幽灵，在人类思想的深处游荡。

(7)、罗素悖论(Russell&#xs paradox)

(8)、泰勒斯—米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人。被誉为“科学和哲学之祖”“希腊七贤之首”。在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。

(9)、欧几里得—被誉为“几何之父”，著作《几何原本》是欧洲数学的基础

(10)、预言一：末来200年将表明，中国人何去何从，将是影响整个世界发展的一个决定因素。

(11)、一个图书馆要编纂一本书，这本书的内容是列出该图书馆所有不列出自己书名的书，那么，这本目录的书要不要列出自己的书名呢？

(12)、    如前所述，我们强调推理的主体是一个自然人，或能够相互完整阅读对方推理语言的若干个自然人；推理方案可以分解为若干子系统或分支，只能阅读和理解某一部分推理过程的人不能作为推理主体；推理主体可以借助一定的辅助工具，比如圆规、直尺、算盘，以及计算机、机器人，但它们不是推理主体；大量参与验算的人同机器验算本质上是一会儿事，这样的人不是推理主体。四色猜想的计算机证明用机器检查了海量的子情况，这样的工作其实可以按计划分配给几千人或几万人分头去做，难道可以写一篇作者数量为几万人的数学论文？！然而，近年来计算机的发展带来人工智能的新时代，数学界的一些例子时常带来新的争论。

(13)、可是，几天后，刘强西温馨提醒这位理发师：你自己也该刮胡子了。

(14)、第罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！

(15)、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.

(16)、可是，罗素让数学的基础动摇了，这就是数学史上著名的第三次数学危机。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了几十年得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

(17)、刘徽—撰写的《九章算术注》以及《海岛算经》，是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根，利用割圆术科学地求出了圆周率 =14

(18)、“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。然而在1903年，集合论被发现是有漏洞的！这一发现就像在平静的水面上投下了一块巨石，它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。英国数学家罗素就是这一危机的“始作俑者”。

(19)、时至今日，公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论。

(20)、 运动场悖论：这一悖论的问题在于“从空间位移分析时间的流逝上面提及的B、C相对A各自是一个单位的时间流速，而B、C之间是两个时间单位.

(1)、本文摘自：《数学文化》第12卷第3期2021

(2)、作为反战斗士，罗素一生有惊无险，二次入狱，一次飞行事故让他越战越强。发表了《罗素——爱因斯坦宣言》，后变成了《维也纳宣言》。

(3)、原来，在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书。

(4)、最早使微积分严谨化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。

(5)、罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。

(6)、我们知道上帝是万能的，那么上帝能否造出一个他自己也举不起石头么？

(7)、至此，这场关于数学基础的争论终于结束，同时也宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。

(8)、萨维尔村理发师推出一块招牌：“理发师只给所有不给自己理发的人理发。”

(9)、    第三次数学危机称为罗素悖论，发生在20世纪初。当时康托尔建立了集合论这一现代数学的基础，希尔伯特提出23个数学问题，数学界喜气洋洋，一片乐观。1900年庞加莱称：数学的严格性，看来直到今天才可以说是实现了。正在这时罗素定义了集合R ：所有不以自己为元素的集合所组成的集合。大家知道，集合论有一个公认的基本原则：一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必居其一。这一原则却受到罗素悖论的正面挑战：R 本身既是 R 的元素，又不是 R 的元素。

(10)、1948年，罗素76岁，在去挪威的特隆赫姆作讲演“防止战争”的途中飞机失事，身穿笨重大衣游泳十分钟后得救。写出《人类知识》。在英国广播公司里恩讲座作头几讲，谈《权威与个人》。罗素命大！大难不死，必有后福！

(11)、表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。

(12)、男生对女生连续问两个问题，只能用“是”或者“不是”来回答。

(13)、1936年，罗素64岁，在泰恩河上纽卡斯尔的阿姆斯特朗学院为格雷伯爵纪念讲座演讲《宿命论与物理学》。与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯结婚。

(14)、1951年，罗素79岁，在纽约哥伦比亚大学马切特基金会讲座演讲“科学对社会的影响”。为哥伦比亚广播电台的第三节目撰稿，谈《美国的政治和文化影响》、《科学方法的性质与根源》，以及《怀疑主义与忍让》。

(15)、    数学家泽尔伯格是美国罗格斯大学教授。有传言，给他写电子邮件要加上“MathIsFun”，否则他的系统就可能会把邮件当做垃圾邮件过滤掉；他不喜欢开车，喜欢坐火车，因为坐火车可以同时研究数学。当今数学界有个作者艾卡德，他已经独立或同泽尔伯格合作发表了几十篇数学研究论文。泽尔伯格说自己是艾卡德(ShaloshB.Ekhad)的导师，但其实艾卡德是泽尔伯格操作的一台计算机。试问能独立发表数学论文的计算机是逻辑推理的主体吗？除非这篇论文里没有推理的问题。

(16)、因此，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

(17)、上述四条分开来看，并未建立矛盾等价式，只能算作归谬法推理.但，上述四条综合在一起看，即可得出这样的矛盾等价式：时空无限可分，当且仅当，时空有最小不可分单位从"运动存在"这一公认正确的背景知识出发，经过严密无误的推导，可以建立一个矛盾等价式.这恰好符合我们上面所说的逻辑悖论三要素这样，芝诺悖论整体才构成一个真正意义上的悖论.

(18)、1894年，罗素22岁，这一年毕业任英国驻巴黎名誉参赞，这是他第一次走向社会。同年，与阿鲁丝·史密斯结婚。这是他第一次走进婚姻家庭。

(19)、总之，罗素是一个人生赢家，活了99岁！他是人类历史上，第一个，也是唯一一个，获诺贝尔文学奖的数学家！

(20)、当这位70岁的Hinton老人还在努力推翻自己积累了30年的学术成果时，我才知道什么叫做生命力(附Capsule最全解析)

(1)、正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：

(2)、1872年5月15日，罗素出生于一个贵族庄园。

(3)、了解了这个理发师的困惑，这不就是外国版的“自相矛盾”吗？其实，这个“理发师悖论”很容易解决，只需要修改一下理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外。然而，罗素悖论是由集合论的基本原理严格推导得来，就不是那么容易解决的了。

(4)、作为自由主义者，罗素一生四次婚姻，合则婚，不合则离。这和中国传统道德是相违背的。

(5)、“乞丐不能妒忌百万富翁，他会妒忌收入更高的乞丐”。

(6)、女儿出世，让罗素回到当爸爸的责任，一方面靠写书演讲挣钱养家，另一方面增加了对家庭、婚姻、教育的思考。

(7)、1952年，罗素80岁，与第三任妻子帕特里夏离婚，同第四任妻子美国的英语教授伊迪丝·芬奇结婚。

(8)、1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。

(9)、无理数的发现以及芝诺悖论(传送门)引发了第一次数学危机。

(10)、罗素，全名伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，生于1872年，卒于1970年，英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家、反战斗士。

(11)、1940年，罗素68岁，在哈佛大学威廉·詹姆斯讲座演讲《探寻意义和真理》。由于伯特兰·罗素案而丧失纽约市立学院的任命。

(12)、然而，“世界万物皆为整数或整数比”的错误并没有解决，欧多克斯只是借助几何方法，直接避免无理数的出现。

(13)、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。

(14)、错误的位置究竟在哪里，需要我们对于整个推理链条的仔细观察与反复推敲。