罗素悖论的数学表达
1、罗素悖论通俗
(1)、如果上帝能造出这块石头，可他自己又举不起这块石头，那他就不是万能的；如果他不能造出这块石头，那又怎么能说上帝是万能的。
(2)、这个“爱情之问”很适合还处于暧昧期的情侣讨论来加深感情。
(3)、理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡子，他就是第一类人，按照他的规矩就不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩他又应该给自己刮胡子。
(4)、罗素悖论(Russell&#xs paradox)
(5)、M：一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
(6)、所以，如果B包括其自身，那么它就与我们用来定义B的条件矛盾了，所以B不包括其自身。
(7)、哥德尔(20世纪最伟大的数学家和逻辑学家，奥地利裔美国人)在逻辑学中的地位，一般都将他与亚里士多德和莱布尼兹相比；在数学中的地位，爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学的贡献相提并论。1952年6月美国哈佛大学授予哥德尔荣誉理学学位时，称他为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”。
(8)、如果你认为数学家是在发现客观真理，那么你就不会接受维氏的分析和解决。如果你认为数学家是在发明主观理论，那么维氏的分析和解决再清楚再简单再合理不过了。
(9)、悖论和悖论解是隐含在同一命题或表面推理中的两个对立的结论，二者都可以证明自己是正确的。悖论的抽象公式是：如果事件a发生，则推导出非a，推导出非a。
(10)、一个关于变量的有限聚集，比如x、y、z，应该是一个集合。
(11)、M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。语句：“这句话是错的”。
(12)、理发师如果给自己理发，那么他就是给自己理发的人，他就不能给自己理发；反之，如果理发师找人给他理发，那他就是不给自己理发的人，他应该给自己理发。
(13)、希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。然而1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
(14)、爱因斯坦说：“我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。”
(15)、罗素悖论的数学表述是这样的：设有一性质P，并立以一性质函数P(x)，且其中的自变量x有此特性：“x∉{P(x)}”，现假设由性质P能够确定一个满足性质P的集合A——也就是说“A={x|x∉A}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？
(16)、 像这些悖论还有很多，而且至今依然困扰着数学家和逻辑学家们。
(17)、让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”(thesetofallsetsthatcontainthemselvesaselements)，称之为“A”。
(18)、对于所谓的“集合”(set)是什么，我们感到有些模糊。
(19)、第一问如果回答是，两个问题答案相同，第二问也是“是”；如果第一问题回答否，两个问题答案不相同，那么第二个回答也还是“是”。
(20)、M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。
2、罗素悖论数学表示
(1)、 如果强盗把商人杀了，就说明商人猜对了，这样就应该把商人放了；如果强盗把商人放了，商人就说错了，强盗应该杀掉他才对。
(2)、数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。比如，非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题，为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支——证明论。
(3)、如果我们问，一个元素的集合可以包括它自己吗？这个答案是肯定的。比如，一个集合由所有含无限多元素的集合组成，那这个集合中肯定包括它自己。
(4)、a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A。
(5)、这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。
(6)、作者AndyKiersz试图展示，罗素悖论是由于“朴素集合论”(naivesettheory)对“集合”的模糊的、过于开放的定义所导致的；“现代公理化集合论”(modernaxiomaticsettheory)，通过设定诸种限制，比如摒除“自含集合”(self-containingsets)，则可以有效避免罗素悖论。
(7)、集合论为数学奠定了坚实的基础，许多概念不清的问题利用集合论得到了完美的解释。数学家希尔伯特度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”。
(8)、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。
(9)、相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海。
(10)、伯特兰·罗素(BertrandRussell,1872-1970)，英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，他与怀特海合著的《数学原理》(ThePrinciplesofMathematics,1903)一书对哲学、数学和数理逻辑有着巨大的影响，使得他在学术上赢得了极其崇高的地位和荣誉。
(11)、数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
(12)、 芝诺提出，让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
(13)、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
(14)、毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。当时这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
(15)、数学家GeorgCantor和其他早期集合论者，在如今被我们称为“朴素集合论”(naivesettheory)的框架内工作。
(16)、从崇尚理性的文艺复兴时期起，如笛卡儿、莱布尼茨等都想创造一个理论解决一切问题。莱布尼茨甚至设想把逻辑学用数学符号表示，以后每逢争论，拿支笔一算即见分晓，其思想对符号逻辑的建立起了很大作用，但因为太超前了没能完成夙愿。
(17)、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
(18)、萨维尔村理发师推出一块招牌：“理发师只给所有不给自己理发的人理发。”
(19)、三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支――证明论等――的形成上。为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论；策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗――弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯――哥德尔集合论公理体系；希尔伯特还建立了元数学；作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。
(20)、十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。
3、罗素悖论的意义
(1)、集合论的创建者是康托尔(Cantor,1845-1918)，当他29岁时，在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章，此后，他从事集合与超限数方面的研究长达20多年。
(2)、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
(3)、 所以不管强盗怎么做，都与他的题目相违背，反而把自己难住了。
(4)、(换言之，上文提到的同时包括非自然数、披萨和加利福尼亚州的大而不当的集合，应该被构建为诸多下属集合：非自然数集合，披萨集合，美国诸州集合；而这些下属集合，又从属于其他更大的集合，比如数字集合，食物集合，各国州省集合。)
(5)、集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象，意为由一个或多个确定的元素所构成的整体。
(6)、这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实(开始设定的)不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。
(7)、爱因斯坦、奥黛丽赫本、球王贝利......众多名人的生日隐藏着一个共同的密码？
(8)、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月(入选《中国分析哲学2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页)
(9)、但当我们考虑A的相反项——“所有‘不’自含集合的集合”(thesetofallsetsthatdonotcontainthemselvesaselements)——悖论就出现了。
(10)、我们经常始于某个直觉概念——关于某物是如何运作的——而后我们发现在自己的直觉中，存在某些奇怪和自相矛盾的东西，随后我们会想办法处理这种奇异性，并解决难题。
(11)、加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。
(12)、总之，这门学科的重要性已经十分明显，它已经引起了很多人的关心和重视。
(13)、 十七世纪几乎在同一时期，牛顿、莱布尼兹共同发明了建立在无穷小分析之上的微积分。
(14)、有时候，数学的问题，可以在数学之外得到解决。
(15)、若S不属于自身，那么S就满足集合所规定的元素性质，它应该属于自身S。
(16)、再比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=-1ifx那个这个函数在x=0处是没有定义的。再展开一下。比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=f(x)ifx=0;f(x)=-1ifx同样，这个函数在x=0处是没有定义的。再展开一下。比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=f(x)+1ifx=0;f(x)=-1ifx同样，这个函数在x=0处是没有定义的。如果有人定义了这样一个函数，那么怎么办呢？因此要取消所有的f(x)的意义吗？不用啊，只需要在没有定义(缺少定义，重言定义，矛盾定义)的地方追加定义即可。这就是维氏的解决方案。
(17)、任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
(18)、时间悖论最早是在科幻小说中提到的。这个悖论的必要前提是：人类可以随心所欲的控制三维空间之后的“第四维”——时间，能够回到过去或者将来。在这个前提下，有多种“时间悖论”的表达方式。
(19)、A={3}是一个集合，里面有三个元素，分别是3；
(20)、所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。
4、罗素悖论说明了什么
(1)、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。
(2)、事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”(asetofeverything)，或者一个“所有集合的集合”(asetofallsets)。(二者都是自含集合。)
(3)、有关时间的悖论中，最著名的是“芝诺悖论”。其中有一个永远追不上的小乌龟的问题。
(4)、 如果认为这句话是真话，按照句子内容来看，这就是句假话；相反，认为它是假话，由于它说自己说的是一句假话，那这就变成真话了。
(5)、 英国哲学家罗素，用通俗的故事表达出了集合论中著名的悖论。1874年，德国数学家康托尔建立了集合论，到了19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。然而就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，尤其是上面罗素提出的“理发师问题”。这么一来，数学的基础被动摇了，也就发生了所谓的第三次“数学危机”。
(6)、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。
(7)、尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。
(8)、(注：线段的大集合，由线段构成；而每个线段又是两点之间所有点的小集合。)
(9)、我们不会去使用“所有事物”(everything)这种大到没边儿的词，诸如此种集合，必须被构建为诸多下属集合(subsets)，而它们又要属于我们已经明确定义的一个更大的集合。